Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu :
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC
= 12 kemungkinan
Prinsip/kaidah perkalian:
Jika posisi /tempat pertama dapat diisi dengan r 1 cara yang
berbeda, tempat kedua denan r 2 cara, dan seterusnya,
sehingga langkah ke n ada r n cara maka banyaknya cara
untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah :
r1 x r 2 x … x r n
Contoh:
Nomor pegawai suatu pabrik terdiri atas 3 angka dengan
angka pertama tidak nol. Banyaknya nomor pegawai yang
genap adalah….
jawab:
Angka terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
akan dibuat 3 digit
digit pertama : tidak ada angka 0, maka angkanya
berjumlah 10 – 1 = 9
digit kedua : angka penuh = 10
digit ketiga : nomor genap 0,2,4,6,8 = 5
Maka banyaknya nomor pegawai yang genap adalah:
9 x 10 x 5 = 450 nomor
AB ≠ BA
AC ≠ CA
AD ≠ DA
BD ≠ DB
CD ≠ DC
BC ≠ CB
n= 4 ; r =2
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
n!
4!
= P24 =
(n − r )!
(4 − 2)!
Prn =
4 x3x 2 x1
= 12 kemungkinan (sama dengan di atas)
2 x1
=
10 angka
XXX
Kaidah Permutasi dan Kombinasi :
1. Permutasi
a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda
Banyaknya cara untuk menyusun r buah unsur dari
n buah unsur yang berbeda dengan urutan
diperhatikan
n!
Rumusnya : Prn = n Pr =
(n − r )!
Contoh soal :
Di suatu kelas akan dipilih ketua, sekretaris dan bendahara dar
orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengu
kelas tsb adalah….
jawab:
diketahui calon= n = 6
posisi jabatan = r = 3
sebagai gambaran :
misalkan 6 calon tersebut A, B, C, D, E dan F
ABC ≠ ACB ; ABC ≠ CBA
ABC orangnya sama tetapi urutan posisi jabatan yang
berbeda.
ABC ≠ ACB
A sama tetapi B dan C berbeda
ABC = A ketua, B Sekretaris, C Bendahara
ACB = A ketua, B Bendahara, C Sekretaris
ini yang dinamakan urutan yang diperhatikan.
Gunakan rumus Prn =
6!
(6 − 3)!
P36 =
n!
(n − r )!
6.5.4.3.2.1.
= 120
3.2.1.
=
Misalkan n = A,B,C,D
www.belajar-matematika.com - 1
b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Banyaknya cara untuk menyusun n buah unsur yang
terdiri dari r1 , r2 , r3 , …, rn unsur yang sama adalah
Pr1n,r2
, rn
n!
r1!r2 !...rn !
=
Permutasi duduk melingkar seperti ini disebut permutasi
siklis, dirumuskan sbb:
P n = (n-1) ! ; n= banyaknya unsur; s = siklis
s
Permutasi siklis untuk 3 orang tsb bisa dicari dengan
menggunakan rumus ini. Yaitu:
P 3 = (3-1) ! = 2 ! = 2 kemungkinan
s
Contoh soal :
Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf
huruf “MATEMATIKA” adalah:
Jawab :
Diketahui jumlah huruf =n = 10
Jumlah huruf yang > 1
M =2 = r1
A= 3 = r2
T = 2 = r3
P210,3, 2 =
1
10!
2!3!2!.
10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
= 151.200 susunan
2.1.3.2.1.2.1
=
2. Kombinasi :
Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan
urutan ada
Misalkan n = A,B,C,D
dipilih 2 kejadian : AB, AC, AD, BA, BC, BD,
CA, CB, CD, DA, DB, DC
AB = BA
BD = DB
AC = CA
CD = DC
AD = DA
BC = CB
Ke 6 kejadian di atas adalah sama
sehingga dihitungnya 1
Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6
kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada)
Rumusnya : C rn = n C r =
c. Permutasi Siklis
Misal : ada 3 orang (A,B,C) duduk melingkar
maka posisinya sbb:
Kemungkinan 1:
n!
r!(n − r )!
C
A
B = B
C
A = A
B
C
Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :
Diketahui
n = 4 dan r = 2
n!
4!
4!
4
= C2 =
=
r!(n − r )!
2!(4 − 2)! 2!2!
4 x3x 2 x1
=
= 6 kemungkinan
2 x1x 2 x1
C rn =
Kemungkinan 2 :
A
B
B
C = C
A =A
C
B
contoh soal:
Dalam suatu acara silaturahmi yang dihadiri 20 orang,
setiap orang saling bersalaman. Banyaknya salaman yang
terjadi adalah….
jawab:
www.belajar-matematika.com - 2
AB = BA orangnya sama yang melakukan
salaman
dinamakan tidak memperhatikan urutan ada.
n = 20 ; r = 2
n!
Pakai rumus C rn =
r!(n − r )!
20!
20!
=
2!(20 − 2)! 2!18!
=
20.19
=
= 10.19 = 190
2.1
Peluang suatu kejadian :
Rumus peluang kejadian :
P(A) =
n( A)
n( S )
p(A) = peluang kejadian
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample
Contoh sederhana: sebuah dadu dilempar, berapa peluang
terjadi yang muncuk angka ganjil ?
semua angka dadu adalah 6 sehingga n(S) = 6
angka ganjil adalah 1, 3 dan 5 sehingga n(A) = 3
3
1
=
6
2
P(A) =
Pada diagram Venn di atas :
n (A) + n (A’) = n (S)
bagi masing-masing dengan n(S) menjadi :
n( A) n( A' ) n( S )
+
=
n( S ) n( S ) n( S )
P(A) + P(A’) = 1 maka P(A’) = 1 – P(A)
Contoh:
Peluang satu kelas lulus UNAS adalah 0.97.
Peluang tidak lulus ujian adalah :
jawab:
P(A’) = 1 – P(A)
diketahui peluang lulus ujian = P(A) = 0.97
ditanya peluang tidak lulus = P(A’)=…
P(A’) = 1 – 0.97 = 0.03
2. Kejadian Majemuk :
A. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas
a. Kejadian saling lepas
A ∩ B =φ
Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersama-
sama.
Diagram Venn:
s
Hukum-hukum Peluang :
1.
Kejadian saling komplemen
'
Jika A = kejadian bukan A (komplemen A) maka :
P( A ' ) = 1 – P(A)
didapat dari :
s
A
B
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Contoh:
Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama. Peluang
munculnya jumlah dadu 5 atau 8 adalah …
A’
A
www.belajar-matematika.com - 3
jawab:
buat tabel ruang sample percobaan seperti di bawah:
Dadu terdiri dari angka 1 ,2,3,4,5, dan 6
1
(1,1)
(2,1)
1
2
3
(3,1)
4
(4,1)
5
(5,1)
6
(6,1)
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample =
36
Ada dua peluang kemungkinan yang terjadi :
1. jumlah dadu berjumlah 5 kita sebut peluang A
berjumlah 4 (warna merah)
2. jumlah dadu berjumlah 8 kita sebut peluang B
berjumlah 5 ( warna biru)
A dan B merupakan kejadian saling lepas karena
munculnya jumlah dadu baerjumlah 5 dan 8 terjadi
tidak secara bersamaan, ini ynag disebut dengan
kejadian saling lepas.
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)
n( A)
n( B )
4
5
P(A) =
; P(B) =
=
=
n( S )
36
n( S )
36
P (A ∪ B ) =
2
(1,2)
(2,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,2)
(3,3)
(4,2)
(4,3)
(5,2)
(5,3)
(6,2)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,4)
(3,5)
(4,4)
(4,5)
(5,4)
(5,5)
(6,4)
(6,5)
6
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
4
5
9
1
+
=
=
36 36 36
4
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
Contoh soal:
Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Peluang
terambilnya kartu berwarna hitam dan As adalah…
jawab:
catatan:
kartu bridge terdiri dari 4 macam:
kartu sekop, kartu keriting, kartu wajik dan kartu hati
masing-masing berjumlah 13.
angka 1 s/d 10, Jack, Queen, King dan AS
Yang berwarna hitam : sekop dan keriting
yang berwarna merah: wajik dan hati
n(S) = 52 (jumlah kartu)
A = kejadian terambilnya kartu hitam.
Ada dua kartu hitam yaitu sekop dan kriting.
masing-masing mempunyai 13 kartu,
sehingga n(A) = 2 x 13 = 26
B = kejadian terambilnya kartu as.
kartu as pada satu set kartu bridge terdiri dari 4 kartu,
sehingga n(B) = 4
Kartu hitam dan kartu as dapat terjadi secara bersamaan jika
yang terambil kartu as sekop dan kartu as keriting, sehingga
dan B adalah kejadian yang tidak saling lepas
sehingga n(A ∩ B) = 2
P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
n( A) n( B) n( A ∩ B)
=
+
−
n( S ) n( S )
n( S )
26 4
2
28 7
=
+
−
=
52 52 52
52 13
=
b. Kejadian tidak saling lepas
A∩ B ≠φ
Kejadian A dan B dapat terjadi secara bersama-sama.
Diagram Venn:
s
3. Kejadian saling bebas dan tidak saling bebas
a . Kejadian saling bebas.
Munculnya kejadian A tidak mempengaruhi peluang
terjadinya kejadian B.
Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka
peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
A
B
www.belajar-matematika.com - 4
Contoh:
Sebuah dadu dan sebuah uang logam (koin) delempar
secara bersama-sama. Berapa peluang kejadian
munculnya gambar pada koin dan munculnya angka
ganjil pada dadu ?
jawab:
misal A= kejadian munculnya angka pada koin.
n( A)
1
P(A) =
=
n( S )
2
catatan:
koin terdiri dari angka dan gambar maka n(S) = 2
n(A) = gambar = 1
misal B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu
n( B )
3
1
= =
n( S )
6
2
P(B) =
P(B) + P(B’) = 1
P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 0.98 = 0.02
Maka peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B
tidak lulus adalah :
P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’)
= 0.99 x 0.02 = 0.0198
catatan:
dadu terdiri dari 6 angka maka n(S) = 6
angka ganjil pada dadu terdiri dari 3 angka (1,3 dan 5)
maka n(B) = 3
maka peluang kejadian munculnya gambar pada koin
dan munculnya angka ganjil pada dadu :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
1 1
1
= x =
2 2
4
b. Kejadian tidak saling bebas (bersyarat)
Kejadian A mempengaruhi peluang kejadian B .
Jika A dan B adalah dua kejadian tidak saling bebas, maka
peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)
P(B|A) = peluang terjadinya B setelah terjadinya A
contoh soal:
Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara
acak diambil 2 bola dari kotak. Peluang kedua bola yang
terambil berwarna hijau adalah…
jawab:
pengambilan bola pertama:
Banyaknya bola pada pengambilan pertama adalah 4 + 6 =
10, maka n(S) = 10.
A adalah kejadian terambilnya bola hijau = 4
maka P(A) =
contoh kedua:
Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS
berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98.
Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B
tidak lulus UNAS adalah
jawab:
P(A) = peluang siswa sekolah A lulus
P(B’) = peluang siswa sekolah B tidak lulus
P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’)
P(A) = 0.99
P(B) = 0.98
n( A)
4
2
=
=
n( S ) 10 5
pengambilan bola kedua:
Banyaknya bola pada pengambilan kedua10-1, maka
n(S) = 9. (bola berkurang 1)
kejadian pertama dan kejadian kedua saling berpengaruh,
maka dikatakan kejadian tidak saling bebas.
n( B | A)
n( S )
P(B|A) =
bola hijau dianggap sudah terambil 1 maka n(B|A) = 3
www.belajar-matematika.com - 5
3 1
=
9 3
P(B|A) =
sehingga fH(A) = P(A) x N
1
= x 104 = 26
4
Maka peluang terambilnya 2 bola hijau adalah :
P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)
2
1
2
x =
=
5
3 15
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan dari kejadian A adalah
fH(A) = P(A) x N
fH(A) = frekuensi harapan kejadian A
P(A) = peluang kejadian A
N = banyaknya pecobaan
Contoh Soal :
Suatu percobaan lempar undi dua mata uang logam
sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya sisi
dua angka adalah…
jawab:
ditanya . fH(A) = P(A) x N
- diketahui N = 104
- cari P(A) dimana :
n( A)
P(A) =
n( S )
Tabel ruang sample :
uang logam terdiri dari angka (A) dan gambar (G)
A
G
didapat n(A) = sisi dua angka (warna merah) = 1
n(S) = 4
A
(A,A)
(G,A)
G
(A,G)
(G,G)
n( A) 1
=
n( S )
4
P(A) =
www.belajar-matematika.com - 6
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
comment please, (✿◠‿◠)