Rabu, Oktober 19, 2011

PELUANG ☆

  MATHEMATIC  (▿♥ʃƪ)

Terjadinya 2 kemungkinan kejadian yaitu :
AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC
= 12 kemungkinan

Prinsip/kaidah perkalian:

Jika posisi /tempat pertama dapat diisi dengan r 1 cara yang
berbeda, tempat kedua denan r 2 cara, dan seterusnya,
sehingga langkah ke n ada r n cara maka banyaknya cara
untuk mengisi n tempat yang tersedia adalah :

r1 x r 2 x … x r n

Contoh:

Nomor pegawai suatu pabrik terdiri atas 3 angka dengan
angka pertama tidak nol. Banyaknya nomor pegawai yang
genap adalah….

jawab:

Angka terdiri dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

akan dibuat 3 digit

digit pertama : tidak ada angka 0, maka angkanya
berjumlah 10 – 1 = 9

digit kedua : angka penuh = 10
digit ketiga : nomor genap 0,2,4,6,8 = 5

Maka banyaknya nomor pegawai yang genap adalah:

9 x 10 x 5 = 450 nomor

AB ≠ BA
AC ≠ CA
AD ≠ DA

BD ≠ DB
CD ≠ DC
BC ≠ CB

n= 4 ; r =2

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :

n!
4!
= P24 =
(n − r )!
(4 − 2)!

Prn =

4 x3x 2 x1
= 12 kemungkinan (sama dengan di atas)
2 x1

=

10 angka

XXX

Kaidah Permutasi dan Kombinasi :

1. Permutasi

a. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Banyaknya cara untuk menyusun r buah unsur dari
n buah unsur yang berbeda dengan urutan
diperhatikan
n!
Rumusnya : Prn = n Pr =
(n − r )!

Contoh soal :

Di suatu kelas akan dipilih ketua, sekretaris dan bendahara dar
orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk memilih pengu
kelas tsb adalah….

jawab:

diketahui calon= n = 6
posisi jabatan = r = 3

sebagai gambaran :

misalkan 6 calon tersebut A, B, C, D, E dan F

ABC ≠ ACB ; ABC ≠ CBA
ABC orangnya sama tetapi urutan posisi jabatan yang
berbeda.
ABC ≠ ACB
A sama tetapi B dan C berbeda
ABC = A ketua, B Sekretaris, C Bendahara
ACB = A ketua, B Bendahara, C Sekretaris
ini yang dinamakan urutan yang diperhatikan.

Gunakan rumus Prn =

6!
(6 − 3)!

P36 =

n!
(n − r )!

6.5.4.3.2.1.
= 120
3.2.1.

=

Misalkan n = A,B,C,D

www.belajar-matematika.com - 1

b. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Banyaknya cara untuk menyusun n buah unsur yang
terdiri dari r1 , r2 , r3 , …, rn unsur yang sama adalah

Pr1n,r2

, rn

n!
r1!r2 !...rn !

=

Permutasi duduk melingkar seperti ini disebut permutasi
siklis, dirumuskan sbb:

P n = (n-1) ! ; n= banyaknya unsur; s = siklis
s

Permutasi siklis untuk 3 orang tsb bisa dicari dengan
menggunakan rumus ini. Yaitu:

P 3 = (3-1) ! = 2 ! = 2 kemungkinan
s

Contoh soal :

Banyaknya susunan berbeda yang dapat dibuat dari huruf
huruf “MATEMATIKA” adalah:

Jawab :

Diketahui jumlah huruf =n = 10
Jumlah huruf yang > 1
M =2 = r1
A= 3 = r2
T = 2 = r3

P210,3, 2 =
1

10!
2!3!2!.

10.9.8.7.6.5.4.3.2.1
= 151.200 susunan
2.1.3.2.1.2.1

=

2. Kombinasi :

Banyaknya kemungkinan dengan tidak memperhatikan
urutan ada

Misalkan n = A,B,C,D
dipilih 2 kejadian : AB, AC, AD, BA, BC, BD,
CA, CB, CD, DA, DB, DC
AB = BA
BD = DB
AC = CA
CD = DC
AD = DA
BC = CB
Ke 6 kejadian di atas adalah sama
sehingga dihitungnya 1

Sehingga kemungkinan yang terjadi adalah 12 – 6 = 6
kemungkinan (tidak memperhatikan urutan ada)

Rumusnya : C rn = n C r =

c. Permutasi Siklis

Misal : ada 3 orang (A,B,C) duduk melingkar
maka posisinya sbb:

Kemungkinan 1:

n!
r!(n − r )!

C

A

B = B

C

A = A

B

C

Kasus di atas dapat diselesaikan dengan rumus ini :

Diketahui
n = 4 dan r = 2

n!
4!
4!
4
= C2 =
=
r!(n − r )!
2!(4 − 2)! 2!2!
4 x3x 2 x1
=
= 6 kemungkinan
2 x1x 2 x1

C rn =

Kemungkinan 2 :
A
B

B

C = C

A =A

C

B

contoh soal:

Dalam suatu acara silaturahmi yang dihadiri 20 orang,
setiap orang saling bersalaman. Banyaknya salaman yang
terjadi adalah….

jawab:

www.belajar-matematika.com - 2

AB = BA orangnya sama yang melakukan
salaman
dinamakan tidak memperhatikan urutan ada.

n = 20 ; r = 2

n!
Pakai rumus C rn =
r!(n − r )!

20!
20!
=
2!(20 − 2)! 2!18!

=

20.19
=
= 10.19 = 190
2.1

Peluang suatu kejadian :

Rumus peluang kejadian :

P(A) =

n( A)
n( S )

p(A) = peluang kejadian
n(A) = banyaknya kemungkinan kejadian A
n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample

Contoh sederhana: sebuah dadu dilempar, berapa peluang
terjadi yang muncuk angka ganjil ?

semua angka dadu adalah 6 sehingga n(S) = 6
angka ganjil adalah 1, 3 dan 5 sehingga n(A) = 3

3
1
=
6
2

P(A) =

Pada diagram Venn di atas :

n (A) + n (A’) = n (S)

bagi masing-masing dengan n(S) menjadi :

n( A) n( A' ) n( S )
+
=
n( S ) n( S ) n( S )

P(A) + P(A’) = 1 maka P(A’) = 1 – P(A)

Contoh:
Peluang satu kelas lulus UNAS adalah 0.97.
Peluang tidak lulus ujian adalah :

jawab:
P(A’) = 1 – P(A)
diketahui peluang lulus ujian = P(A) = 0.97
ditanya peluang tidak lulus = P(A’)=…

P(A’) = 1 – 0.97 = 0.03

2. Kejadian Majemuk :

A. Kejadian saling lepas dan tidak saling lepas

a. Kejadian saling lepas

A ∩ B =φ
Kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersama-
sama.

Diagram Venn:

s

Hukum-hukum Peluang :

1.
Kejadian saling komplemen
'
Jika A = kejadian bukan A (komplemen A) maka :

P( A ' ) = 1 – P(A)

didapat dari :

s

A

B

P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)

Contoh:
Dua buah dadu dilempar secara bersama-sama. Peluang
munculnya jumlah dadu 5 atau 8 adalah …

A’

A

www.belajar-matematika.com - 3

jawab:

buat tabel ruang sample percobaan seperti di bawah:

Dadu terdiri dari angka 1 ,2,3,4,5, dan 6

1
(1,1)
(2,1)

1
2

3

(3,1)

4

(4,1)

5

(5,1)

6

(6,1)

n(S) = banyaknya kemungkinan kejadian sample =
36

Ada dua peluang kemungkinan yang terjadi :
1. jumlah dadu berjumlah 5 kita sebut peluang A
berjumlah 4 (warna merah)
2. jumlah dadu berjumlah 8 kita sebut peluang B
berjumlah 5 ( warna biru)

A dan B merupakan kejadian saling lepas karena
munculnya jumlah dadu baerjumlah 5 dan 8 terjadi
tidak secara bersamaan, ini ynag disebut dengan
kejadian saling lepas.

P (A ∪ B ) = P(A) + P(B)

n( A)
n( B )
4
5
P(A) =
; P(B) =
=
=
n( S )
36
n( S )
36

P (A ∪ B ) =

2
(1,2)
(2,2)

3
(1,3)
(2,3)

(3,2)

(3,3)

(4,2)

(4,3)

(5,2)

(5,3)

(6,2)

(6,3)

4
(1,4)
(2,4)

5
(1,5)
(2,5)

(3,4)

(3,5)

(4,4)

(4,5)

(5,4)

(5,5)

(6,4)

(6,5)

6
(1,6)
(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

4
5
9
1
+
=
=
36 36 36
4

P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )

Contoh soal:

Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu. Peluang
terambilnya kartu berwarna hitam dan As adalah…

jawab:
catatan:
kartu bridge terdiri dari 4 macam:
kartu sekop, kartu keriting, kartu wajik dan kartu hati
masing-masing berjumlah 13.
angka 1 s/d 10, Jack, Queen, King dan AS
Yang berwarna hitam : sekop dan keriting
yang berwarna merah: wajik dan hati

n(S) = 52 (jumlah kartu)

A = kejadian terambilnya kartu hitam.
Ada dua kartu hitam yaitu sekop dan kriting.
masing-masing mempunyai 13 kartu,
sehingga n(A) = 2 x 13 = 26
B = kejadian terambilnya kartu as.
kartu as pada satu set kartu bridge terdiri dari 4 kartu,
sehingga n(B) = 4

Kartu hitam dan kartu as dapat terjadi secara bersamaan jika
yang terambil kartu as sekop dan kartu as keriting, sehingga
dan B adalah kejadian yang tidak saling lepas

sehingga n(A ∩ B) = 2

P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
n( A) n( B) n( A ∩ B)
=
+

n( S ) n( S )
n( S )

26 4
2
28 7
=
+

=
52 52 52
52 13

=

b. Kejadian tidak saling lepas
A∩ B ≠φ

Kejadian A dan B dapat terjadi secara bersama-sama.

Diagram Venn:

s

3. Kejadian saling bebas dan tidak saling bebas

a . Kejadian saling bebas.
Munculnya kejadian A tidak mempengaruhi peluang
terjadinya kejadian B.

Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas, maka
peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :

P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)

A

B

www.belajar-matematika.com - 4

Contoh:

Sebuah dadu dan sebuah uang logam (koin) delempar
secara bersama-sama. Berapa peluang kejadian
munculnya gambar pada koin dan munculnya angka
ganjil pada dadu ?

jawab:

misal A= kejadian munculnya angka pada koin.
n( A)
1
P(A) =
=
n( S )
2
catatan:
koin terdiri dari angka dan gambar maka n(S) = 2
n(A) = gambar = 1

misal B = kejadian munculnya angka ganjil pada dadu

n( B )
3
1
= =
n( S )
6
2

P(B) =

P(B) + P(B’) = 1
P(B’) = 1 – P(B) = 1 – 0.98 = 0.02

Maka peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B
tidak lulus adalah :

P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’)
= 0.99 x 0.02 = 0.0198

catatan:
dadu terdiri dari 6 angka maka n(S) = 6
angka ganjil pada dadu terdiri dari 3 angka (1,3 dan 5)
maka n(B) = 3

maka peluang kejadian munculnya gambar pada koin
dan munculnya angka ganjil pada dadu :

P(A ∩ B ) = P(A) x P(B)
1 1
1
= x =
2 2
4

b. Kejadian tidak saling bebas (bersyarat)

Kejadian A mempengaruhi peluang kejadian B .

Jika A dan B adalah dua kejadian tidak saling bebas, maka
peluang terjadinya kejadian A dan B adalah :

P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)

P(B|A) = peluang terjadinya B setelah terjadinya A

contoh soal:

Sebuah kotak berisi 4 bola hijau dan 6 bola merah. Secara
acak diambil 2 bola dari kotak. Peluang kedua bola yang
terambil berwarna hijau adalah…

jawab:

pengambilan bola pertama:

Banyaknya bola pada pengambilan pertama adalah 4 + 6 =
10, maka n(S) = 10.
A adalah kejadian terambilnya bola hijau = 4

maka P(A) =

contoh kedua:

Peluang siswa sekolah A dan sekolah B lulus UNAS
berturut-turut adalah 0.99 dan 0.98.
Peluang siswa sekolah A lulus dan siswa sekolah B
tidak lulus UNAS adalah

jawab:

P(A) = peluang siswa sekolah A lulus
P(B’) = peluang siswa sekolah B tidak lulus

P(A ∩ B’) = P(A) x P(B’)
P(A) = 0.99
P(B) = 0.98

n( A)
4
2
=
=
n( S ) 10 5

pengambilan bola kedua:

Banyaknya bola pada pengambilan kedua10-1, maka
n(S) = 9. (bola berkurang 1)

kejadian pertama dan kejadian kedua saling berpengaruh,
maka dikatakan kejadian tidak saling bebas.

n( B | A)
n( S )

P(B|A) =

bola hijau dianggap sudah terambil 1 maka n(B|A) = 3
www.belajar-matematika.com - 5

3 1
=
9 3

P(B|A) =

sehingga fH(A) = P(A) x N
1
= x 104 = 26
4

Maka peluang terambilnya 2 bola hijau adalah :

P(A ∩ B ) = P(A) x P(B|A)
2
1
2
x =
=
5
3 15

Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan dari kejadian A adalah
fH(A) = P(A) x N

fH(A) = frekuensi harapan kejadian A
P(A) = peluang kejadian A
N = banyaknya pecobaan

Contoh Soal :

Suatu percobaan lempar undi dua mata uang logam
sebanyak 104 kali. Frekuensi harapan munculnya sisi
dua angka adalah…

jawab:

ditanya . fH(A) = P(A) x N

- diketahui N = 104

- cari P(A) dimana :
n( A)
P(A) =
n( S )

Tabel ruang sample :

uang logam terdiri dari angka (A) dan gambar (G)

A
G

didapat n(A) = sisi dua angka (warna merah) = 1
n(S) = 4

A
(A,A)
(G,A)

G
(A,G)
(G,G)

n( A) 1
=
n( S )
4

P(A) =

www.belajar-matematika.com - 6

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

comment please, (✿◠‿◠)